일상 일기 블로그

왜 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는가?기하학적, 함수적, 그리고 일상적 관점에서 풀어보는 구조적 이유1️⃣ 들어가며 — "행렬 곱셈, 왜 순서가 중요할까?"선형대수를 배우다 보면 가장 많이 듣는 질문 중 하나가 있습니다."행렬은 숫자처럼 곱셈 교환법칙이 안 되나요?"즉, 왜 대부분의 경우 $AB\ne BA$ 인가? 가끔은 실제로 곱해보면 우연히 같기도 합니다. 그러나 이는 특수한 경우일 뿐, 구조적으로 행렬 곱셈은 원천적으로 교환법칙이 성립할 수 없습니다.오늘은 그 이유를 다음 세 가지 관점에서 풀어보겠습니다.기하학적 관점합성함수 관점일상적 예시2️⃣ 기하학적 관점 — 공간 변환 순서의 비대칭성🟢 변환 정의다음 두 가지 2차원 선형 변환을 준비합니다.행렬 A : 90도 반시계 방향 회전..

1️⃣ 선형변환(Linear Transformation)이 왜 필요했을까? - 배경과 필요성🔍 1. 선형변환이 등장하게 된 배경🎯 물체를 움직이거나 변형시키는 이유여러분이 일상생활에서 접하는 모든 물체와 그림은 어느 순간이든 움직이거나 크기나 방향을 바꾸게 되는 경우가 많아요.예를 들어 여러분이 스마트폰으로 사진을 찍었다고 해볼게요.그런데 사진을 찍은 후 보니까 방향이 틀어져 있어요. 이럴 때는 어떻게 해야 할까요? 사진을 돌려서 똑바로 만들면 되겠죠?그런데 이때 사진을 돌리는 건 그냥 아무렇게나 하는 것이 아니라, 정확한 규칙에 따라서 돌려야 해요. 만약 사진을 돌릴 때 어떤 부분은 덜 돌리고, 어떤 부분은 더 돌리면 이상한 모양이 되어버리겠죠?즉, 물체를 옮기거나 돌리거나 크기를 바꿀 때는 '일정..

직관적 이해 (비유 & 감각적 접근) 🔹 1. 벡터란?🎯 벡터가 있으면 길을 찾을 수 있지만, 없으면 길을 잃는다!🌍 상황 1: 친구 집 찾아가기너희가 친구 집에 놀러 가기로 했다. 그런데 친구가 **"우리 집은 3km 거리에 있어"**라고만 말해줬다.이걸 듣고 너희는 "어디로 3km?? 북쪽? 남쪽? 오른쪽? 왼쪽?" 하면서 길을 잃을 것이다.✅ 이게 바로 ‘스칼라’만 있을 때의 문제야."거리(크기)만 있고, 방향이 없으니까 어디로 가야 할지 모르는 것!"🎯 그런데 만약 친구가 이렇게 말해줬다면?"우리 집은 동쪽으로 3km 가면 돼!"이제야 길을 찾을 수 있다!✅ 이제 ‘방향’이 생겼지? 이것이 바로 ‘벡터’다!벡터는 크기(얼마나 가야 하는지)와 방향(어느 쪽으로 가야 하는지)이 함께 있는 개념..