행렬의 교환법칙

왜 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는가?

기하학적, 함수적, 그리고 일상적 관점에서 풀어보는 구조적 이유

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1️⃣ 들어가며 — "행렬 곱셈, 왜 순서가 중요할까?"

선형대수를 배우다 보면 가장 많이 듣는 질문 중 하나가 있습니다.

"행렬은 숫자처럼 곱셈 교환법칙이 안 되나요?"

즉, 왜 대부분의 경우 \( AB \neq BA \) 인가? 가끔은 실제로 곱해보면 우연히 같기도 합니다. 그러나 이는 특수한 경우일 뿐, 구조적으로 행렬 곱셈은 원천적으로 교환법칙이 성립할 수 없습니다.

오늘은 그 이유를 다음 세 가지 관점에서 풀어보겠습니다.

• 기하학적 관점
• 합성함수 관점
• 일상적 예시

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2️⃣ 기하학적 관점 — 공간 변환 순서의 비대칭성

🟢 변환 정의

다음 두 가지 2차원 선형 변환을 준비합니다.

행렬 A : 90도 반시계 방향 회전

$$ A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

행렬 B : x축 대칭 (y좌표 부호 반전)

$$ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$

🟢 실제 계산 — 순서 비교

임의의 벡터 \( \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\\ 2 \end{bmatrix} \) 를 대상으로 두 변환을 적용해 봅시다.

🔵 먼저 \( AB \) 적용

1. B (x축 대칭): \( B \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\\ -2 \end{bmatrix} \)
2. A (90도 회전): \( A ( B \mathbf{x} ) = \begin{bmatrix} 2 \\\ 1 \end{bmatrix} \)

🔴 다음 \( BA \) 적용

1. A (90도 회전): \( A \mathbf{x} = \begin{bmatrix} -2 \\\ 1 \end{bmatrix} \)
2. B (x축 대칭): \( B ( A \mathbf{x} ) = \begin{bmatrix} -2 \\\ -1 \end{bmatrix} \)

🚫 결과 비교

적용 순서	최종 결과
AB	\( \begin{bmatrix} 2 \\\ 1 \end{bmatrix} \)
BA	\( \begin{bmatrix} -2 \\\ -1 \end{bmatrix} \)

두 결과가 명백히 다릅니다.

그 이유는 다음과 같습니다.

• 먼저 회전하면 대칭 기준축 자체가 회전되어 대칭 효과가 달라집니다.
• 먼저 대칭하면, 회전할 공간 자체가 이미 뒤집혀 있어 회전 결과가 달라집니다.

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3️⃣ 함수적 관점 — 합성 함수의 구조

행렬 곱셈은 함수 합성과 같습니다.

\( AB \mathbf{x} = A ( B ( \mathbf{x} ) ) \) / \( BA \mathbf{x} = B ( A ( \mathbf{x} ) ) \)

함수 합성에서는 입력과 출력 구조가 순서에 따라 바뀌기 때문에, 순서를 바꾸면 결과가 달라집니다.

📄 예시

\( f(x) = x + 3, \quad g(x) = 2x \)

\( f(g(x)) = 2x + 3, \quad g(f(x)) = 2(x + 3) = 2x + 6 \)

두 함수의 순서를 바꾸면 결과가 다릅니다. 행렬 곱셈도 똑같습니다.

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4️⃣ 일상적 관점 — 순서가 중요한 일상의 작업

사실 이러한 순서의 중요성은 우리 일상 속에서도 자연스럽게 경험할 수 있습니다.

🟢 예시 1: 방 정리

• A: 가구 재배치
• B: 청소하기

순서	절차	결과
A → B	가구 배치 → 청소	방이 깨끗하고 가구 배치 반영
B → A	청소 → 가구 배치	가구 옮기다 먼지 다시 발생

🟢 예시 2: 글쓰기

• A: 초안 작성
• B: 맞춤법 검사

순서	절차	결과
A → B	초안 → 맞춤법 검사	최종 글 완성
B → A	맞춤법 검사 → 초안 작성	검사 대상이 없음

🟢 예시 3: 요리

• A: 재료 썰기
• B: 볶기

순서	절차	결과
A → B	재료 썬 후 볶기	요리가 완성됨
B → A	볶은 후 재료 썰기	불가능

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5️⃣ 종합 — 구조적 원리

행렬 곱셈의 교환법칙은

• 기하학적으로는 공간 변환 순서에 따라 최종 상태가 달라지고,
• 함수적으로는 합성 구조상 입력-출력 순서가 바뀌며,
• 일상적으로는 작업 순서가 결과에 결정적 영향을 주기 때문에

원리적으로 성립할 수 없습니다.

📄 요점 정리

관점	불성립의 구조적 원인	일상적 비유
기하학	변환 순서에 따라 공간 자체가 달라짐	가구 배치 → 청소 순서 바뀌면 결과 달라짐
함수합성	출력값이 다음 입력값으로 연결됨	초안 → 맞춤법 검사
일상	첫 작업이 두 번째 작업의 대상을 바꿈	재료 썰기 → 볶기 순서 바뀌면 불가능

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6️⃣ 왜 중요한가?

이 특성은 단순한 수학 규칙이 아니라, 현실 세계를 모델링하는 데 필수적입니다.

분야	교환법칙 불성립의 영향
컴퓨터 그래픽스	변환 순서에 따라 모델의 위치와 방향이 달라짐
로봇공학	관절 이동 순서가 최종 위치 결정
양자역학	측정 순서에 따라 결과가 달라지는 근본 원인
데이터 과학	데이터 변환 순서에 따라 분석 결과가 달라짐

행렬 곱셈의 교환법칙은 '안 되는 게 아니라, 애초에 될 수 없는 구조적 이유'가 있는 것입니다.