일상 일기 블로그

🔷 초기하분포✅ 정의초기하분포(Hypergeometric Distribution)는 크기 $N$인 유한 모집단에서, 그 중 관심 있는 항목(예: 특정 범주나 속성)을 $K$개 포함한 상태로, 복원하지 않고 $n$개의 표본을 추출할 때, 그 중 관심 항목이 정확히 $k$개 포함될 확률을 설명하는 이산 확률분포입니다.이 분포는 다음과 같은 모수를 가집니다: $N$: 모집단의 크기 $K$: 모집단 중 관심 항목의 수 $n$: 추출하는 표본의 크기 $X$: 표본 중 관심 항목의 개수 (확률변수)초기하분포의 확률 질량함수는 다음과 같습니다:\[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{..

🔷 이항분포란?✅ 정의학술적 정의:이산확률변수 $X$가 독립인 $n$개의 베르누이 시행에서 성공한 횟수를 나타내고, 각 시행의 성공 확률이 동일하게 $p$일 때, $X$는 다음 확률질량함수를 따른다.$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n$$이를 이항분포라 하며, 다음과 같이 표기한다:$$X\sim \text{Binomial}(n,p)$$보다 쉽게 설명하면, 이항분포는 **성공과 실패 두 가지 결과 중 하나가 나오는 실험**을 여러 번 반복한 후, 그중 성공이 **몇 번 발생했는지**를 나타내는 분포입니다. $n$: 실험 횟수 $p$: 한 번의 실험에서 성공할 확..

✅ 분산의 정의분산이란 확률변수 $X$의 기댓값으로부터 얼마나 퍼져 있는가를 나타내는 수치로, 다음과 같이 정의됩니다.$$\text{Var}(X)=E[(X-E[X]{)}^2]$$ ✅ 정의를 전개위의 정의를 수학적으로 전개하면 다음과 같습니다.$$\text{Var}(X)=E[X^2-2X\cdot E[X]+(E[X]{)}^2]$$기댓값의 선형성과 상수의 성질을 적용하면:$$\text{Var}(X)=E[X^2]-2E[X]\cdot E[X]+(E[X]{)}^2$$$$=E[X^2]-2(E[X]{)}^2+(E[X]{)}^2$$$$=E[X^2]-(E[X]{)}^2$$✅ 최종 공식 \[ \boxed{\text{Var}(X) = E[X..

🔷 베르누이 시행: 기댓값, 분산, 그리고 모수란? ✅ 1. 왜 결과를 숫자로 바꾸는가 — 확률변수의 존재 이유확률변수는 어떤 사건이 일어났는지를 숫자로 표현하는 도구이다. 이 표현 덕분에 우리는 사건의 발생을 수학적으로 분석하고 예측할 수 있다.예시: 동전 던지기 → 앞면: 1 / 뒷면: 0, 시험 합격 여부, 클릭 여부 등말로 표현된 사건은 계산이 불가능하지만 숫자로 바꾸면 평균과 분산을 계산할 수 있게 된다.확률변수 $X$는 1일 때 사건 발생, 0일 때 미발생을 뜻하며, 모든 통계의 출발점이 된다. ✅ 2. 기댓값의 직관: 평균이 아니라 반복의 구조기댓값은 단 한 번의 예측값이 아니라, 수천 번의 반복 시행에서 평균적으로 수렴하는 중심값이다.예시: 퀴즈 맞힐 확률이 0.8인 학생 10..

🔷 베르누이 시행과 분포 ✅ 정의✅ 베르누이 시행정확히 두 가지 결과: 실험의 결과는 반드시 "성공"과 "실패"처럼 두 가지로만 구분되어야 합니다.성공 확률이 항상 일정함: 실험을 여러 번 반복하더라도 성공할 확률은 매 시행마다 동일해야 합니다.시행 간 결과는 서로 독립적임: 한 시행의 결과가 다른 시행에 영향을 미쳐서는 안 됩니다.이 세 가지 조건이 모두 충족되어야 해당 실험을 ‘베르누이 시행’이라고 정의할 수 있습니다.이는 매우 단순한 구조처럼 보이지만, 실제로는 많은 확률 모델과 통계적 예측 기법의 기반이 되는 중요한 개념입니다. ✅ 베르누이 분포베르누이 시행의 결과를 하나의 확률변수로 표현한 것이 베르누이 분포입니다.이 확률변수는 다음과 같이 정의됩니다:성공할 경우 $X=1$실패할..

🔷 IID(독립항등분포): 통계학의 핵심 개념 쉽게 이해하기안녕하세요, 데이터와 통계에 관심 있는 분들을 위해 오늘은 통계학에서 매우 중요한 개념인 IID(Independent and Identically Distributed, 독립항등분포)에 대해 자세히 알아보겠습니다. IID는 통계 모델링, 머신러닝, 데이터 분석에서 자주 등장하는 개념으로, 이를 이해하면 데이터 분석의 기초를 단단히 다질 수 있습니다. 초보자도 쉽게 따라올 수 있도록 예시와 함께 설명하고, 마지막에는 IID의 실제 응용과 한계도 다뤄볼게요! 🔷 1. IID란 무엇인가?IID는 "독립적이고 동일하게 분포된(Independent and Identically Distributed)" 데이터나 확률 변수를 의미합니다. 이 용어는 두 ..

왜 좋은 추정량이 필요한가?— 추정량을 평가하기 위한 세 가지 기준의 출발점우리는 데이터를 수집하고, 그 데이터를 통해 어떤 ‘숫자’를 계산합니다. 평균, 표준편차, 비율, 회귀계수… 하지만 그런 숫자들, 즉 ‘추정값’이 얼마나 믿을 만한지에 대해선 놀랍도록 많은 사람들이 무관심합니다.예를 들어 어떤 약을 100명에게 줬더니 65명이 나았다고 해봅시다. 이때 "치유율은 65%"라고 말할 수 있을까요? 이건 단지 100명 중 65명이 나았다는 사실일 뿐입니다. 우리가 정말 알고 싶은 건 “전체 인구에서 이 약의 진짜 효과는 몇 퍼센트일까?” 입니다. 그 질문에 대답하기 위해 100명으로부터 얻은 데이터를 요약하고, 그걸로 진짜 값을 ‘추정’하는 것, 이게 통계의 핵심입니다.그런데 한 가지 중요한 질문이 생..

📊 통계학은 단지 숫자 계산이 아니다: Specification 문제란 무엇인가?🎯 1. 문제의식: 왜 통계학을 다시 정의해야 하는가?많은 사람들은 통계를 단지 "숫자를 요약하는 기술" 정도로 생각합니다. 하지만 R. A. Fisher는 그렇게 보지 않았습니다. 그는 통계학이 본질적으로 “무엇을 어떻게 측정하고 해석할 것인가”에 대한 이론적 과학이라 주장했습니다.Fisher는 당시 통계학이 계산은 발전했지만 개념은 혼란스럽다고 보았습니다. 예컨대, 평균과 분산이라는 용어가 명확한 수학적 기반 없이 혼용되고, 모집단의 개념도 불명확하게 사용되는 현실을 비판했습니다.그는 이를 해결하기 위해 통계학의 문제를 다음 세 가지로 나누어야 한다고 주장했습니다.Specification 문제Estimation 문제D..