일상 일기 블로그

🔷 IID(독립항등분포): 통계학의 핵심 개념 쉽게 이해하기안녕하세요, 데이터와 통계에 관심 있는 분들을 위해 오늘은 통계학에서 매우 중요한 개념인 IID(Independent and Identically Distributed, 독립항등분포)에 대해 자세히 알아보겠습니다. IID는 통계 모델링, 머신러닝, 데이터 분석에서 자주 등장하는 개념으로, 이를 이해하면 데이터 분석의 기초를 단단히 다질 수 있습니다. 초보자도 쉽게 따라올 수 있도록 예시와 함께 설명하고, 마지막에는 IID의 실제 응용과 한계도 다뤄볼게요! 🔷 1. IID란 무엇인가?IID는 "독립적이고 동일하게 분포된(Independent and Identically Distributed)" 데이터나 확률 변수를 의미합니다. 이 용어는 두 ..

📘 1. 도입: 문제의 구조 1.1 왜 우리가 분산을 추정해야 하는가?통계학에서 우리는 모집단의 분산 $$\sigma^2$$ 를 알고 싶지만, 대부분의 경우 모집단 전체를 관측할 수 없습니다. 그래서 표본을 추출하고, 그 표본을 기반으로 모집단의 분산을 추정하게 됩니다. 1.2 분산의 정의: 모집단 vs 표본먼저 분산이 무엇인지 정의합니다. 모집단 분산(모분산)은 다음과 같이 정의됩니다:$$ \sigma^2 = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] $$ 이는 확률변수 \(X\)가 전체 모집단 평균 \(\mu\)에서 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 값입니다.하지만 우리는 실제로 모집단 전체를 알 수 없기 때문에 표본을 관측합니다. 표본 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 이 주어졌을 때, 가..

분산 추정, 왜 \(n\)이 아니라 \(n-1\)로 나눠야 하는가— 불편 추정량과 자유도의 수학적·논리적 정당화📌 1. 문제의식: “왜 굳이 귀찮게 \(n-1\)로 나누는가?”표본에서 분산을 추정할 때, 우리는 거의 본능적으로 이렇게 계산합니다:\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \]하지만 자연스럽게 이런 질문이 나옵니다:“왜 그냥 \(n\)으로 안 나누고, 꼭 \(n-1\)로 나눠야 하죠?”“수학적으로 무슨 차이가 있길래 이게 더 정답이라고 하는 거죠?”이 질문은 통계학에서 가장 많이 배우지만 가장 적게 이해되는 질문 중 하나입니다. 지금부터 이걸 철저하게 이해시켜 드리겠습니다.📌 2. 목표: 모집단 분산 \(\sigma^2\)의 불편 추..

불편성, 통계 추정에서 ‘믿을 수 있음’의 기준이 되려면— 표본평균이 불편 추정량이라는 사실을 수학적으로 증명하기까지📌 I. 왜 불편성이 중요한가?“우리가 얻은 숫자 하나가 진짜를 얼마나 닮았는가”우리는 데이터를 수집하고, 그 데이터를 통해 어떤 ‘숫자’를 계산합니다. 평균, 표준편차, 회귀계수, 상관계수… 익숙한 통계치들입니다.하지만 이런 수치들이 진짜 값, 즉 모집단의 특성(parameter)을 얼마나 정확히 반영하는지는 놀랍도록 많은 사람들이 묻지 않습니다.그렇다면 물어야 합니다.“이 숫자가 진짜 값을 얼마나 잘 반영하고 있는가?”“이 숫자, 얼마나 믿을 수 있나?”이 질문에 답하기 위한 첫 번째 기준이 바로 불편성(unbiasedness)입니다. ✔️ 정의는 간단하지만, 의미는 깊습니다:어떤 추..