🔷 이항분포: 모수

 

🔷 이항분포: 모수 구조와 형태 통제

✅ 1. 모수란 무엇인가?

모수(parameter)는 확률분포의 수학적 정의에서
분포의 모양을 직접적으로 결정하는 고정된 수치입니다.

예를 들어, 정규분포는 평균 \(\mu\)와 분산 \(\sigma^2\) 두 값이
정해져야 확률 밀도 곡선을 그릴 수 있으며,
이 두 수만으로 분포는 완전히 정의됩니다.

이처럼 모수는 분포를 정의하기 위한 필수 조건이며,
그 수치값만으로 곡선의 중심, 폭, 대칭, 꼬리의 형태까지 결정짓는 수학적 변수입니다.

 

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✅ 2. 일상적 예시

시험 점수의 분포
수학 시험을 본 전체 학생의 점수가 어떻게 퍼져 있는지 알고 싶다면,
우리는 평균과 점수의 흩어진 정도(표준편차)를 알아야 합니다.

• 평균 70점, 표준편차 10점 → 대부분이 60~80점
• 평균 70점, 표준편차 25점 → 점수 분포가 훨씬 넓게 퍼짐

→ 여기서 평균과 표준편차는 정규분포의 모수입니다.

 

지하철 이용객 수
하루 평균 이용객이 100명이고 거의 변동이 없다면 예측은 정확합니다.
반대로 평균도 모르고, 매일 이용객 수가 크게 다르면 예측 자체가 불가능합니다.

→ 모수는 예측 가능한 구조를 만들기 위한 필수 수치입니다.

 

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✅ 3. 이항분포에서의 모수

이항분포는 다음과 같이 정의됩니다.

\[ X \sim \text{Binomial}(n, p) \]

• \( n \): 시행 횟수 (예: 동전을 몇 번 던질 것인가)
• \( p \): 단일 시행의 성공 확률 (예: 앞면이 나올 확률)

이 두 값이 고정되어야 다음 확률질량함수가 유도됩니다.

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

→ 이항분포는 오직 \(n\)과 \(p\) 두 모수로만 정의됩니다.

 

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✅ 4. 구조를 결정하는 방식

• 정의역: 가능한 값은 \( X \in \{0, 1, ..., n\} \)
  → \(n\)이 커질수록 가능한 결과 수가 많아지고, 분포는 넓어집니다.

 

• 기댓값과 분산

\[ E[X] = np, \quad \text{Var}(X) = np(1 - p) \]

• \(p\)가 클수록 평균은 오른쪽으로 이동
• \(p = 0.5\)일 때 분산은 최대
• \(p\)가 0이나 1에 가까우면 분포는 한쪽에 쏠림

 

• 대칭성 여부

\[ P(X = 0) = (1 - p)^n, \quad P(X = n) = p^n \]

• \(p = 0.5\) → 대칭
• \(p \ne 0.5\) → 비대칭

 

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• n에 따른 변화

• p(확률)에 따른 변화

✅ 5. 일상적 예시 설명

\(n\) 변화의 예
동전을 3번 던지면 결과는 0~3번 앞면.
100번 던지면 0~100까지 매우 다양한 값.
→ 시행 횟수가 많아질수록 정규분포처럼 중심에 몰립니다.

 

\(p\) 변화의 예
5번 던질 때:

• \(p = 0.8\): 앞면 확률 높음 → 대부분 4~5회
• \(p = 0.2\): 뒷면 확률 높음 → 대부분 0~1회

→ 확률이 크면 오른쪽, 작으면 왼쪽으로 몰림.

 

실제 시뮬레이션 예시:

• \(p = 0.8\):
  \(X_1 = 1, X_2 = 1, X_3 = 1, X_4 = 0, X_5 = 1\)
  \[ X = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4 \] → 오른쪽 집중

 

• \(p = 0.2\):
  \(X_1 = 0, X_2 = 0, X_3 = 1, X_4 = 0, X_5 = 0\)
  \[ X = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1 \] → 왼쪽 집중

 

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✅ 6. 요약

요소	모수	구조적 효과
가능한 값의 수	\(n\)	정의역 길이 확장
중심 위치	\(p\)	좌우 이동
퍼짐 정도	\(n, p\)	분산 결정
대칭성 여부	\(p\)	좌우 쏠림
꼬리 확률	\(p\)	극단값 집중도