이항분포의 평균과 분산

🔷 이항분포의 평균과 분산

✅ 정의

이항분포 \( X \sim \text{Binomial}(n, p) \)의 평균과 분산은 다음과 같이 정의됩니다:

\[ E(X) = n \cdot p \quad , \quad \text{Var}(X) = n \cdot p(1 - p) \]

이 수식은 단순한 암기공식이 아닌, 이항분포의 구조에서 유도되는 결과입니다.

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✅ 평균의 일반식 증명

이항분포는 다음과 같이 구성됩니다:

\[ X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n, \quad X_i \sim \text{Bernoulli}(p) \]

기댓값의 선형성에 따라 다음이 성립합니다:

\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) \]

각 \( X_i \)는 베르누이 시행이므로, \[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p \]

따라서 전체 기댓값은 다음과 같습니다:

\[ E(X) = n \cdot p \]

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✅ 분산의 일반식 증명

이항분포의 분산은 다음처럼 유도됩니다:

\[ \text{Var}(X) = \text{Var}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) \]

독립인 확률변수일 경우, 분산은 다음처럼 분리됩니다:

\[ \text{Var}(X) = \text{Var}(X_1) + \cdots + \text{Var}(X_n) \]

각 \( X_i \sim \text{Bernoulli}(p) \)이고, \[ \text{Var}(X_i) = p(1 - p) \]

따라서 전체 분산은:

\[ \text{Var}(X) = n \cdot p(1 - p) \]

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✅ 예시로 확인

다음은 실제 수치 계산으로 이 결과를 검증하는 과정입니다.

조건: \( n = 3 \), \( p = 0.4 \)

\[ X \sim \text{Binomial}(3, 0.4) \]

🔹 확률분포표

X	0	1	2	3
P(X)	0.216	0.432	0.288	0.064

🔹 기댓값 계산

\[ E(X) = 0 \cdot 0.216 + 1 \cdot 0.432 + 2 \cdot 0.288 + 3 \cdot 0.064 = 1.2 \]

이론값: \[ n \cdot p = 3 \cdot 0.4 = 1.2 \quad \Rightarrow \text{일치} \]

🔹 분산 계산

기댓값 \( \mu = 1.2 \)

\[ \text{Var}(X) = (0 - 1.2)^2 \cdot 0.216 + (1 - 1.2)^2 \cdot 0.432 + (2 - 1.2)^2 \cdot 0.288 + (3 - 1.2)^2 \cdot 0.064 \]

\[ = 1.44 \cdot 0.216 + 0.04 \cdot 0.432 + 0.64 \cdot 0.288 + 3.24 \cdot 0.064 = 0.311 + 0.017 + 0.184 + 0.207 = 0.719 \]

이론값: \[ n \cdot p(1 - p) = 3 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 0.72 \quad \Rightarrow \text{거의 일치} \]

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✅ 정리 요약

항목	공식	예시 (n=3, p=0.4)
기댓값 \( E(X) \)	\( n \cdot p \)	1.2
분산 \( \text{Var}(X) \)	\( n \cdot p(1 - p) \)	0.72
계산값	확률표 이용	\( E(X) = 1.2 \), \( \text{Var}(X) \approx 0.719 \)