일상 일기 블로그

왜 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는가?기하학적, 함수적, 그리고 일상적 관점에서 풀어보는 구조적 이유1️⃣ 들어가며 — "행렬 곱셈, 왜 순서가 중요할까?"선형대수를 배우다 보면 가장 많이 듣는 질문 중 하나가 있습니다."행렬은 숫자처럼 곱셈 교환법칙이 안 되나요?"즉, 왜 대부분의 경우 \( AB \neq BA \) 인가? 가끔은 실제로 곱해보면 우연히 같기도 합니다. 그러나 이는 특수한 경우일 뿐, 구조적으로 행렬 곱셈은 원천적으로 교환법칙이 성립할 수 없습니다.오늘은 그 이유를 다음 세 가지 관점에서 풀어보겠습니다.기하학적 관점합성함수 관점일상적 예시2️⃣ 기하학적 관점 — 공간 변환 순서의 비대칭성🟢 변환 정의다음 두 가지 2차원 선형 변환을 준비합니다.행렬 A : 90도 반시계 방향 회전..

📌 행렬 곱셈은 왜 "합성"일까? — 선형변환과 행렬의 관계를 한 번에 이해하기✅ 들어가며여러분은 행렬 곱셈을 처음 배울 때 이런 생각 해본 적 있나요?"왜 행렬끼리 곱할까?""벡터는 그냥 좌표인데, 행렬은 왜 곱하기가 정의되어 있을까?""그냥 숫자 모임인데, 대체 왜 이렇게 복잡한 규칙으로 곱하지?"오늘은 그 궁금증을 완전히 풀어드리겠습니다.사실 행렬 곱셈은 복잡한 게 아니라, 아주 단순한 논리에서 나왔습니다.그 핵심은 바로행렬 곱셈 = 선형변환의 합성이라는 사실입니다.🎯 선형변환과 행렬은 어떤 관계?🔹 벡터는 "점" 또는 "데이터"예를 들어$$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}$$은x축으로 2, y축으로 1 이동한 점을 나타냅니다.🔹 선형변환..

📌 왜 선형변환은 행렬로 표현하는가?벡터와 행렬의 본질적 차이와 구조적 필요성✅ 1. 핵심 결론부터먼저 결론부터 명확히 정리하고 시작하겠습니다.행렬을 사용하는 이유는, 단순히 벡터를 바꾸는 것이 아니라 "벡터 공간 전체"를 변환하는 규칙을 표현하기 위해서입니다.벡터는 하나의 점, 방향, 데이터이고, 행렬은 그 벡터들을 어떤 방식으로 변환할지를 담은 구조입니다.즉, 선형변환이라는 '공간의 규칙'을 효율적으로 표현할 수 있는 유일한 방법이 바로 행렬입니다.✅ 2. 수학적으로 보면: 벡터 vs 행렬의 역할🔷 벡터는 "데이터"벡터는 공간의 한 점, 방향, 크기를 나타내는 입력값입니다.예를 들어, 2차원 평면에서는$$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}$$→ ..

1️⃣ 선형변환(Linear Transformation)이 왜 필요했을까? - 배경과 필요성🔍 1. 선형변환이 등장하게 된 배경🎯 물체를 움직이거나 변형시키는 이유여러분이 일상생활에서 접하는 모든 물체와 그림은 어느 순간이든 움직이거나 크기나 방향을 바꾸게 되는 경우가 많아요.예를 들어 여러분이 스마트폰으로 사진을 찍었다고 해볼게요.그런데 사진을 찍은 후 보니까 방향이 틀어져 있어요. 이럴 때는 어떻게 해야 할까요? 사진을 돌려서 똑바로 만들면 되겠죠?그런데 이때 사진을 돌리는 건 그냥 아무렇게나 하는 것이 아니라, 정확한 규칙에 따라서 돌려야 해요. 만약 사진을 돌릴 때 어떤 부분은 덜 돌리고, 어떤 부분은 더 돌리면 이상한 모양이 되어버리겠죠?즉, 물체를 옮기거나 돌리거나 크기를 바꿀 때는 '일정..

선형독립과 선형종속📌 "벡터가 서로 도울 수 있을까?"🎯 **"선형독립(Linear Independence)과 선형종속(Linear Dependence)"**이란?벡터들은 팀워크를 잘해야 해!어떤 벡터들은 서로 도우면서 새로운 공간을 만들지만, 어떤 벡터들은 그냥 같은 길만 따라간다.이걸 **선형독립(서로 돕는 관계)과 선형종속(겹치는 관계)**이라고 해.1️⃣ 선형종속이란? "같은 길만 가는 벡터들"🚶‍♂️ 예제 1: 두 친구가 같은 길을 가는 경우친구 A: 오른쪽으로 2칸, 위로 1칸 → 벡터 v1=[21]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}친구 B: 오른쪽으로 4칸, 위로 2칸 → 벡터 v2=[42]\mathbf{v}_2 = \begin{..

선형결합(Linear Combination) 🚀 1. 선형결합이란?💡 "벡터를 조합해서 새로운 벡터를 만드는 법!"우리는 지금까지 벡터가 방향과 크기를 가지는 화살표라는 걸 배웠어.그런데 벡터를 여러 개 합쳐서 새로운 벡터를 만들 수도 있어!이걸 **선형결합(Linear Combination)**이라고 해.선형결합의 핵심:c1v1+c2v2+...+cnvn=새로운 벡터c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + ... + c_n\mathbf{v}_n = \text{새로운 벡터}여기서✅ v1,v2,...\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ... → 벡터✅ c1,c2,...c_1, c_2, ... → 숫자(스칼라)즉, 벡터들을 적당한 숫자로 곱해서 더하면 새로운 벡터를 만..

직관적 이해 (비유 & 감각적 접근) 🔹 1. 벡터란?🎯 벡터가 있으면 길을 찾을 수 있지만, 없으면 길을 잃는다!🌍 상황 1: 친구 집 찾아가기너희가 친구 집에 놀러 가기로 했다. 그런데 친구가 **"우리 집은 3km 거리에 있어"**라고만 말해줬다.이걸 듣고 너희는 "어디로 3km?? 북쪽? 남쪽? 오른쪽? 왼쪽?" 하면서 길을 잃을 것이다.✅ 이게 바로 ‘스칼라’만 있을 때의 문제야."거리(크기)만 있고, 방향이 없으니까 어디로 가야 할지 모르는 것!"🎯 그런데 만약 친구가 이렇게 말해줬다면?"우리 집은 동쪽으로 3km 가면 돼!"이제야 길을 찾을 수 있다!✅ 이제 ‘방향’이 생겼지? 이것이 바로 ‘벡터’다!벡터는 크기(얼마나 가야 하는지)와 방향(어느 쪽으로 가야 하는지)이 함께 있는 개념..