1.2 경우의 수

확률실험의 사상과 관련된 실현치들의 수를 세는 데 유용한 방법을 이 절에서 공부한다.

그 방법 중 하나가 곱의 원리(multiplication principle)이다

 

곱의 원리란?

확률 실험 \(E_1\)에서 \(n_1\)개의 실현치가 발생되고, 그러한 각각의 실현치에 대하여 확률실험 \(E_2\)로부터 \(n_2\)개의 실현치가 발생되면, \(E_1\)과 \(E_2\)를 차례대로 시행하는 복합실험 \(E_1 E_2\)는 \(n_1 n_2\)개의 발생 가능한 실현치를 갖는다.

 

예를 들면, 실험용 쥐가 {암컷, 수컷}이 있고, 그에 대한 처치를 약물 {A, B, C}가 있다면, 나올 수 있는 경우는 2 x 3 = 6가지이다. {암컷, A}, {암컷, B}, {암컷, C}, {수컷, A}, {수컷, B}, {수컷, C}.

 

 

 

순열(permutation)

n개의 서로 다른 개체에 대한 n!가지의 배열 각각 n개 개체의 순열이라고 한다.

 

순열은 곱의 원리를 적용해서 n개의 자리에 n개를 배열하는 방법이다.

예를 들어 비밀번호를 만든다고 하자.

abcd라는 비밀번호와 bacd라는 비밀번호는 분명 다를 것이다.

이 경우 중복되지 않게 n개를 n개에 배열하는 방법은 4! = 4 x 3 x 2 x 1= 24가 될 것이다.

만약 중복이 된다면 \(4^4 = 256\)이 된다.

 

이번에는 n개를 r개의 자리를 채운다면 (\(r \leq n \) )

\( _{n}\mathrm{P}_{r} = n(n-1)(n-2) \dots (n-r+1)\)

\( _{n}\mathrm{P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\)

\(_{n}\mathrm{P}_{r}\)의 배열 각각을 n개의 개체 중 r개를 선택하여 배열한 순열이라고 한다.

 

 

복원추출(sampling with replacement)

개체를 추출할 때 다음번 개체가 추출되기 전에 추출한 개체를 다시 돌려놓으며 추출하는 방법

곱의 원리에 의해 n개의 개체들의 집합으로부터 r개를 복원추출에 의하여 추출했을 때 순서표본의 가짓수는 \(n^r\)개이다.

 

예를 들면,

주사위를 7번 던진다면 이 경우의 수는 \(6^7=279,936\)이다.

 

비복원추출(sampling without replacement)

일단 추출된 개체를 다시 돌려놓지 않으며 추출하는 방법을 일컫는다.

곱의 원리에 의하여 n개의 개체들에서 r개를 비복원추출했을 때 크기 r의 순서표본의 가짓수는

순열 \(_{n}\mathrm{P}_{r}\)과 같다.

 

 

조합(comination)

때로는 추출 순서에 개의치 않고 r개의 추출된 집합에만 관심을 가질 때가 있다.

크기 r인 비순서(unordered) 표본의 수는 크기 r인 순서표본의 수를 먼저 고려하여 구할 수 있다.

n개의 서로 다른 개체들로부터 추출된 크기 r인 비순서 부분집합의 수를 C라 하자.

r개의 개체들로 이루어진 C개의 비순서 부분집합 중 어느 하나에 대하여 그 안에 있는 r개의 개체들을 배열함으로써 nPr개의 순서표본 중 하나를 얻을 수 있다. 그 배열의 방법의 수가 r!이므로 곱의 원리에 의하여 (C)(r!) = nPr과 같아야 한다.

 

\( (C) (r!) = \frac{n!}{(n-r)!}\)

\( C = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

 

\(_{n}\mathrm{C}_{r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

 

만약 카드를 뽑는다하면, 5개의 카드를 뽑으면 굳이 순서는 중요하지 않을 수 있다.

\(-{52}\mathrm{C}_{5} = \binom{52}{5} = \frac{52!}{5!47!} = 2,598,960\)

 

\(\binom{n}{r}\)은 흔히 이항계수(binomial coefficient)라고도 하고, 이는 이항전개(expansion of a binomial)에서 유래된다.

\( (a+b)^n = \displaystyle{\sum_{r=0}^n} \binom{n}{r} b^r a^{a-r}\)