기대값이 확률 x 확률변수인 이유

우리는 확률변수와 확률의 곱이 평균이라는 것을 배웠을 것이다.

그 이유를 고등학교 때는 이해를 못했지만 다시 통계를 공부하며 이해했던 부분을 쓰려고 한다.

 

주사위를 던진다고 하면 나올 수 있는 값 X는 확률변수이며, 1 ~ 6을 가진다.

이 때 나올 수 있는 확률은 각각 1/6이다.

이를 표로 나타내면 아래와 같다.

X	1	2	3	4	5	6
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

 

위의 표를 보고 X값과 그 X값에 해당하는 확률을 곱하면 1 * (1/6) + 2*(1/6) + ... + 6 * (1/6) = 3.5다.

이는 평균이며 E(X)가 된다.

 

왜 이렇게 되는지 이유가 궁금했는데, 모집단의 확률이 아니라 표본이 있다고 해보자.

표본에서는 값이

1,1,1,2,3,4 가 나왔다고 가정하자.

 

이 경우 총 6번의 시행을 해서

1은 3번

2는 1번

3은 1번

4는 1번

 

그렇다면 빈도론 관점에서 각 확률은

1이 나올 확률은 3/6

2가 나올 확률은 1/6

3이 나올 확률은 1/6

4가 나올 확률은 1/6

이다.

 

즉 평균을 구하는 기존의 방식인

(1+1+1+2+3+4)/6 과 

1 * (3/6) + 2*(1/6) + 3 *(1/6) + 4*(1/6)이 같은 것이다.

 

확률변수에서도 마찬가지로 기대값과 확률을 곱하면 그 값은 평균이 된다.