왜 통계학에서는 절댓값보다 제곱을 쓸까

📌 왜 통계학에서는 절댓값보다 제곱을 쓸까?

– 퍼짐 측정에서 평균절대편차(L1)와 분산(L2)의 진짜 차이

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1️⃣ 시작 – 평균만으로는 부족하다

시험을 보고 나면 선생님이 이렇게 말씀하시죠.

"이번 시험 평균은 75점입니다."

그런데 평균만 듣고 "다들 비슷하게 맞았겠네"라고 생각하면
사실은 전혀 다른 상황일 수도 있습니다.

학생	점수
A	75
B	75
C	75
D	75

혹은 이렇게:

학생	점수
A	30
B	50
C	100
D	120

평균은 똑같이 75점인데
점수의 퍼짐 정도는 전혀 다릅니다.

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2️⃣ 퍼짐을 재는 두 가지 방법

이 퍼짐을 숫자로 표현하는 방법은 크게 두 가지가 있습니다.

• L1 방식 – 평균절대편차: 편차의 절댓값 평균
• L2 방식 – 분산: 편차를 제곱해서 평균

예시로 비교해볼게요.

점수	편차	절댓값 (L1)	제곱 (L2)
80	-10	10	100
85	-5	5	25
95	+5	5	25
100	+10	10	100

평균절대편차 (L1): (10 + 5 + 5 + 10) ÷ 4 = 7.5

분산 (L2): (100 + 25 + 25 + 100) ÷ 4 = 62.5

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3️⃣ 그런데 왜 통계학에서는 제곱(L2)만 쓸까?

직관적으로는 절댓값 평균(L1)이 더 쉬워 보입니다.
하지만 통계학에서는 항상 L2(분산)만 씁니다.

그 이유는 생각보다 단순한 "계산 편리" 때문이 아닙니다.

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🚀 L1과 L2의 진짜 차이 – 수학적 구조

🎯 집단 합산 가능성의 차이

통계학에서는 여러 집단의 퍼짐을 비교하거나 합칠 일이 많습니다.

예를 들어:

• A반 분산: 10
• B반 분산: 20

특정 조건이 맞으면 전체 학생들의 분산은:

10 + 20 = 30

처럼 깔끔하게 합산할 수 있습니다.
왜 가능할까요?

✅ L2(분산)에서는 공식이 존재

제곱 연산은 덧셈 구조와 잘 어울립니다.

편차를 제곱해서 더하면
집단을 합쳤을 때 전체 퍼짐과 정확히 연결됩니다.

즉, 수학적으로 선형성이 유지됩니다.
이것이 가능하기 때문에 통계학에서는 분산(L2)을 사용합니다.

❗️ L1(평균절대편차)에서는 왜 불가능한가?

여기서 중요한 논리적 이유:

절댓값 연산은 비선형 연산입니다.
편차들의 절댓값 평균은
집단을 합치기 전에 평균낸 값과
집단을 합친 뒤 평균낸 값이 다릅니다.

절댓값은 연산 순서에 따라 값이 바뀌기 때문에
두 집단의 평균절대편차를 단순히 더하거나 평균내서
전체 퍼짐을 구할 수 없습니다.

이 구조적 한계 때문에
통계학에서는 평균절대편차(L1)를 퍼짐 측정 공식으로 사용하지 않습니다.

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📌 최종 정리

구분	L1 (평균절대편차)	L2 (분산)
연산 구조	비선형 (절댓값)	선형 (제곱)
이상치 영향	적음 (선형 증가)	큼 (제곱으로 폭증)
합산 가능성	❌ 불가능	✅ 가능 (분산 공식)
원인	절댓값 → 연산 순서 따라 값 달라짐	제곱 → 덧셈 구조 유지
통계학 이론 연결	약함	강함 (정규분포, 중심극한정리 등)

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✅ 마무리

통계학에서 분산(L2 방식)을 선택한 이유는
단순히 계산이 편하거나 미분이 가능해서가 아닙니다.

퍼짐이라는 개념을 수학적으로 체계적으로 다루고,
여러 집단의 퍼짐을 비교하거나 합산할 수 있도록
구조를 만들기 위해 L2(제곱)를 선택한 것입니다.