Z점수 표준화가 평균0, 표준편차 1이 되는 이유

✨ Z 표준화 공식: 평균 0, 표준편차 1의 마법 풀기 ✨

안녕하세요, 데이터 마니아 여러분! 🎉

오늘은 통계의 숨은 보석, Z 표준화 (Z-score standardization)에 대해 파헤쳐볼게요.
특히 “왜 평균이 0이고 표준편차가 1이 되는 걸까?”라는 미스터리를 수학적으로 풀며 화려하게 증명해보려고 합니다.
준비되셨죠? Let’s dive in! 🚀

---

🌟 Z 표준화 공식: 이게 대체 뭐야?

Z 표준화는 데이터를 표준 정규 분포라는 멋진 세계로 초대하는 공식이랍니다.
공식은 심플하지만 강력해요:

$$ z = \frac{x - \mu}{\sigma} $$

• x: 원래 데이터 값
• μ (뮤): 데이터의 평균
• σ (시그마): 데이터의 표준편차
• z: 표준화된 값, 즉 Z-score

쉽게 말해, 데이터가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 표준편차 단위로 쟀다고 생각하면 돼요.
예를 들어:

• z = 2 → 평균보다 2 표준편차 위
• z = -1 → 평균보다 1 표준편차 아래

멋지지 않나요? 🌈

---

🎯 평균이 0이 되는 비밀

Z 표준화를 하면 결과 데이터의 평균이 0이 된다고 해요.
왜일까요? 수학으로 깔끔하게 증명해볼게요!

z 값들의 평균은 이렇게 구해요:

$$ \text{평균}(z) = \frac{1}{n} \sum z_i = \frac{1}{n} \sum \frac{x_i - \mu}{\sigma} $$

σ는 상수니까 밖으로 빼면:

$$ \text{평균}(z) = \frac{1}{\sigma} \cdot \frac{1}{n} \sum (x_i - \mu) $$

여기서 합을 풀어보면:

$$ \sum (x_i - \mu) = \sum x_i - \sum \mu $$

평균의 정의에 따라, ∑xᵢ = nμ 이므로:

$$ \sum (x_i - \mu) = n \mu - n \mu = 0 $$

결국:

$$ \text{평균}(z) = \frac{1}{\sigma} \cdot \frac{0}{n} = 0 $$

짜잔! 🎉
평균이 0이 되는 마법, 증명 완료!
데이터에서 평균을 빼버리니 0으로 딱 떨어지네요.

---

🔥 표준편차가 1이 되는 이유

이제 표준편차가 1이 되는 이유를 알아볼 차례예요.
표준편차는 분산의 제곱근이니까, 먼저 z의 분산을 구해봅시다.

$$ \text{분산}(z) = \frac{1}{n} \sum (z_i - \text{평균}(z))^2 $$

평균이 0이므로:

$$ \text{분산}(z) = \frac{1}{n} \sum z_i^2 $$

z 값의 정의를 대입하면:

$$ z_i^2 = \frac{(x_i - \mu)^2}{\sigma^2} $$

따라서:

$$ \text{분산}(z) = \frac{1}{n} \sum \frac{(x_i - \mu)^2}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{n} \sum (x_i - \mu)^2 $$

여기서 \( \frac{1}{n} \sum (x_i - \mu)^2 \)는 원래 데이터의 분산, 즉 \( \sigma^2 \)입니다.

$$ \text{분산}(z) = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1 $$

분산이 1이므로 표준편차는:

$$ \text{표준편차}(z) = \sqrt{1} = 1 $$

Boom! 💥
표준편차 1, 완벽하게 증명됐어요!
표준편차로 나눠서 단위를 1로 맞춘 결과랍니다.

---

🌈 한눈에 보는 핵심 포인트

구분	의미
평균 0	데이터를 평균(μ)만큼 이동시켜 0으로!
표준편차 1	표준편차(σ)로 나눠 단위를 1로 통일!

Z 표준화는 데이터를 평균 0, 표준편차 1인 표준 정규 분포로 변신시키는 마법이에요.
통계나 머신러닝에서 데이터 비교할 때 정말 유용하죠! ✨

---

🎉 마무리: 통계의 매력에 빠져보세요!

어때요, Z 표준화의 비밀 풀어보니 재밌죠?
겉보기엔 복잡해 보여도 결국 데이터를 깔끔하게 정리하는 과정일 뿐이에요.
궁금한 점 있으면 댓글로 물어보세요!
다음엔 더 신나는 통계 이야기로 돌아올게요.
See you soon! 👋