베르누이 시행: 기댓값, 분산, 그리고 모수

 

🔷 베르누이 시행: 기댓값, 분산, 그리고 모수란?

 

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✅ 1. 왜 결과를 숫자로 바꾸는가 — 확률변수의 존재 이유

확률변수는 어떤 사건이 일어났는지를 숫자로 표현하는 도구이다. 이 표현 덕분에 우리는 사건의 발생을 수학적으로 분석하고 예측할 수 있다.

예시: 동전 던지기 → 앞면: 1 / 뒷면: 0, 시험 합격 여부, 클릭 여부 등

말로 표현된 사건은 계산이 불가능하지만 숫자로 바꾸면 평균과 분산을 계산할 수 있게 된다.

확률변수 $X$는 1일 때 사건 발생, 0일 때 미발생을 뜻하며, 모든 통계의 출발점이 된다.

 

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✅ 2. 기댓값의 직관: 평균이 아니라 반복의 구조

기댓값은 단 한 번의 예측값이 아니라, 수천 번의 반복 시행에서 평균적으로 수렴하는 중심값이다.

예시: 퀴즈 맞힐 확률이 0.8인 학생 100명 → 대략 80명이 정답. → 평균 = 0.8

기댓값은 예언이 아니라 반복 결과가 수렴하는 지점을 수치화한 것이다.

 

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✅ 3. 왜 $\mathbb{E}[X]=\sum X\cdot P(X)$ 이 정의인가

기댓값은 각 결과 $X$가 전체 평균에 기여하는 정도를 확률 $P(X)$만큼 가중하여 모두 더한 것이다.

X	P(X)
1	0.2
2	0.5
5	0.3

 

예상 평균: $$\mathbb{E}[X]=1\cdot 0.2+2\cdot 0.5+5\cdot 0.3=2.0$$

기댓값은 모든 결과의 확률 가중 평균이며, 반복 시행을 거칠수록 이 수치에 수렴한다.

 

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✅ 4. 그래서 베르누이 분포에선 왜 $\mathbb{E}[X]=p$ 가 되는가

베르누이 분포는 오직 두 결과 0, 1만 갖는다.

X	P(X)
0	$1-p$
1	$p$

 

기댓값 계산:

$$\mathbb{E}[X]=0\cdot (1-p)+1\cdot p=p$$

0은 평균에 영향을 주지 않고, 1은 확률 p만큼 기여하기 때문에 기댓값은 p가 된다.

 

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✅ 5. 베르누이 시행의 분산이 $\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$ 이 되는 이유

공식: $$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X]{)}^2$$

베르누이에서는 $X^2=X$, 따라서 $$\mathrm{Var}(X)=p-p^2=p(1-p)$$

X	P(X)
0	$1-p$
1	$p$

 

 

직관적 계산:

$$\mathrm{Var}(X)=(0-p{)}^2\cdot (1-p)+(1-p{)}^2\cdot p=p(1-p)$$

p가 0.5일 때 분산이 최대, p가 0 또는 1에 가까우면 분산이 0에 가까워짐.

2025.04.19 - [통계학/통계이론] - 분산 공식 증명 E(X^2) - E(X)^2

분산 공식 증명 E(X^2) - E(X)^2

 

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✅ 6. p는 왜 중요한가 — 모수(parameter)의 의미

p는 베르누이 분포를 완전히 결정짓는 하나의 값이다.

p가 클수록 성공이 확실, 작을수록 실패가 확실, p = 0.5일 땐 예측 불가능

p 하나로 다음이 모두 결정됨:

• $\mathbb{E}[X]=p$
• $\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$

 

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✅ 7. 정리: 계산보다 구조를 보라

베르누이 분포는 단순하지만, 확률적 구조와 통계의 근간을 형성한다.

$\mathbb{E}[X]=p$, $\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$는 계산이 아니라 구조의 귀결이다.

이 구조는 이후 이항 분포, 로지스틱 회귀, MLE, 신뢰도 분석 등 모든 분야로 확장된다.