베르누이 시행과 분포

 

🔷 베르누이 시행과 분포

 

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✅ 정의

✅ 베르누이 시행

• 정확히 두 가지 결과: 실험의 결과는 반드시 "성공"과 "실패"처럼 두 가지로만 구분되어야 합니다.
• 성공 확률이 항상 일정함: 실험을 여러 번 반복하더라도 성공할 확률은 매 시행마다 동일해야 합니다.
• 시행 간 결과는 서로 독립적임: 한 시행의 결과가 다른 시행에 영향을 미쳐서는 안 됩니다.

이 세 가지 조건이 모두 충족되어야 해당 실험을 ‘베르누이 시행’이라고 정의할 수 있습니다.
이는 매우 단순한 구조처럼 보이지만, 실제로는 많은 확률 모델과 통계적 예측 기법의 기반이 되는 중요한 개념입니다.

 

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✅ 베르누이 분포

베르누이 시행의 결과를 하나의 확률변수로 표현한 것이 베르누이 분포입니다.
이 확률변수는 다음과 같이 정의됩니다:

• 성공할 경우 \( X = 1 \)
• 실패할 경우 \( X = 0 \)

확률 구조는 다음과 같습니다:

P(X = 1) = p
P(X = 0) = 1 - p

이때 \( p \)는 성공 확률을 의미합니다.
베르누이 분포는 단 한 번의 이진 결과만을 다루지만, 이항 분포나 로지스틱 회귀 모델과 같은 더 복잡한 확률 모델의 기본 단위가 됩니다.

기댓값과 분산은 다음과 같이 계산됩니다:

E[X] = p
Var(X) = p(1 - p)

 

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✅ 쉽게 설명하면

베르누이 시행은 "참 또는 거짓", "성공 또는 실패"처럼 결과가 둘 중 하나로만 나오는 실험입니다.
이 실험은 반드시 성공 확률이 항상 같고, 한 시행의 결과가 다음 시행에 영향을 미치지 않아야 합니다.

예를 들어, 공정한 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 항상 0.5이며, 앞면이 나왔다고 해서 다음에 뒷면이 나올 확률이 바뀌지는 않습니다.
이처럼 확률이 일정하고, 결과가 독립적인 이진 실험이 바로 베르누이 시행입니다.

이 개념이 중요한 이유는, 실제로 사용하는 대부분의 확률 모델이 이러한 단일 시행의 반복으로 이루어지기 때문입니다.
즉, 베르누이 시행을 이해하는 것은 확률적 사고의 출발점이자, 수학적 모델링의 기초를 다지는 일입니다.

 

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✅ 베르누이 시행의 예시

✅ 조건을 모두 만족하는 경우

사례	설명
동전 던지기	결과는 앞면(1), 뒷면(0). 성공 확률은 0.5로 일정합니다. 각 시행은 서로 독립적입니다.
시험 합격 여부	합격(1) 또는 불합격(0). 동일한 조건에서 시험을 본다면 성공 확률은 일정합니다. 응시자 간 결과도 독립적입니다.
광고 클릭 여부	클릭(1) 또는 미클릭(0). 동일한 사용자 조건을 가정할 때 확률은 일정합니다. 개별 행동은 독립적입니다.

 

❌ 조건을 만족하지 않는 경우

사례	문제점
비복원 추출	이전 결과가 다음 시행의 확률에 영향을 줍니다. 독립성을 위반합니다.
시험의 난이도가 매번 달라지는 경우	시행마다 성공 확률이 달라집니다. 성공 확률의 일정성을 위반합니다.
주사위 던지기	결과가 6가지로 분기됩니다. 이진성 조건을 위반합니다.

 

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2025.04.19 - [통계학/통계이론] - 베르누이 시행: 기댓값, 분산, 그리고 모수

베르누이 시행: 기댓값, 분산, 그리고 모수