일상 일기 블로그

📘 1. 도입: 문제의 구조 1.1 왜 우리가 분산을 추정해야 하는가?통계학에서 우리는 모집단의 분산 $$\sigma^2$$ 를 알고 싶지만, 대부분의 경우 모집단 전체를 관측할 수 없습니다. 그래서 표본을 추출하고, 그 표본을 기반으로 모집단의 분산을 추정하게 됩니다. 1.2 분산의 정의: 모집단 vs 표본먼저 분산이 무엇인지 정의합니다. 모집단 분산(모분산)은 다음과 같이 정의됩니다:$$ \sigma^2 = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] $$ 이는 확률변수 \(X\)가 전체 모집단 평균 \(\mu\)에서 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 값입니다.하지만 우리는 실제로 모집단 전체를 알 수 없기 때문에 표본을 관측합니다. 표본 \(X_1, X_2, \dots, X_n\) 이 주어졌을 때, 가..

분산 추정, 왜 \(n\)이 아니라 \(n-1\)로 나눠야 하는가— 불편 추정량과 자유도의 수학적·논리적 정당화📌 1. 문제의식: “왜 굳이 귀찮게 \(n-1\)로 나누는가?”표본에서 분산을 추정할 때, 우리는 거의 본능적으로 이렇게 계산합니다:\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \]하지만 자연스럽게 이런 질문이 나옵니다:“왜 그냥 \(n\)으로 안 나누고, 꼭 \(n-1\)로 나눠야 하죠?”“수학적으로 무슨 차이가 있길래 이게 더 정답이라고 하는 거죠?”이 질문은 통계학에서 가장 많이 배우지만 가장 적게 이해되는 질문 중 하나입니다. 지금부터 이걸 철저하게 이해시켜 드리겠습니다.📌 2. 목표: 모집단 분산 \(\sigma^2\)의 불편 추..