제 9장 확률이란 무엇인가?

1. 가능성, 확률

가능성 또는 확률이란 무엇인가?

1)도수이론(frequency theory)

어떤 시행을 반복적으로 실시하면, 하나의 사건이 일어나는 상대도수의 반복횟수가 무한히 증가함에 따라 하나의 상수에 수렴하게 된다. 도수이론에 따르면 이 상수가 바로 그 사건의 확률이 된다.

 

2) 주관적 견해

왜 주관적 견해? -> 무한히 많은 시행은 불가

기말고사에서 1등을 차지할 확률은? -> 기말고사를 무한히 볼 수 없다.

 

 

2. 구슬이 든 상자: 복원추출과 비복원추출

복원추출: 뽑은 구슬을 다시 넣는다.

비복원추출: 뽑은 구술을 다시 넣지 않는다.

 

빨간 구슬 3개와 파란 구슬 2개가 있다면, 빨간 구슬을 뽑을 확률은

3/5이다.

즉 비율이 중요하다.

 

3. 가능한 경우를 모두 나열하여 확률을 계산하는 방법

전체 경우의 수에 가능한 경우의 수를 구한다.

 

주사위 2개에서 2를 구한다면, 한 가지 주사위에서 나올 확률은 6가지이고, 두 주사위에서 나올 경우의 수는 36가지이다. 그 중에 2가 나올 수 있는 건 양쪽 주사위에서 1이 나와야 해서 1/36이 확률이다.

마찬가지로 다른 수의 확률도

 

\(\frac{그 수가 나오는 경우의 수}{전체 경우의 수}\)

 

으로 구할 수 있다.

 

 

4. 벤 다이어그램과 배반

배반은 겹치는 부분이 없는 것이다.

 

한 사건이 발생할 때 다른 사건이 함께 일어날 수 없는 경우 두 사건은 상호배반 또는 단순히 배반관계에 있다고 한다.

 

 

5. 덧셈법칙

좁은 의미의 덧셈법칙: 상호 배반일 경우의 각 사건이 일어날 확률

P(A 또는 B)=P(A) + P(B)

 

일반화된 덧셈법칙: 두 사건이 상호배반이 아닐 경우

P(A 또는 B)= P(A)+P(B)-P(A 그리고 B)

 

 

6. 조건부 확률

특정 조건이 있을 경우 특정 사건이 일어날 확률

P(A|B) -> B조건의 경우 A가 일어날 확률이다.

 

7. 곱셈법칙

두 개 또는 그 이상의 사건이 함께 일어날 확률

 

공이 빨강,파랑,노랑의 3개에서 공 2개를 순서대로 뽑는다고 생각해보자.

첫 번째 공을 뽑을 확률은 1/3이고 두번째 공을 뽑을 확률은 1/2이다.

 

즉 A와 B가 동시에 뽑힐 확률은 P(A)P(B|A)이다. 

사건 A가 빨강공을 뽑을 확률이고, 사건 B가 노랑공을 뽑을 확률이라면,

사건 A의 확률은 1/3이다. 사건 B가 뽑힐 확률은 A가 뽑힌 상태에서 노랑공이 나와야 하니까 P(B|A)이다.

 

결합확률(joint probability)

:두 사건이 모두 일어날 확률

 

주변확률

P(A), P(B)처럼 비조건부확률로서 따로 이용되는 확률

 

 

8. 분할과 베이즈 정리

분할(partition)

두 사건은 합치면 모든 경우의 수 전체를 포괄하고 겹치면 중복이 없다. 두 사건은 전체를 둘로 나누는 역할을 한다.

-> 빠짐없이 세고 싶다.

 

베이즈 정리(Bayes' theorem)

사후확률로 사전확률을 추측하는 것이다.

답을 맞췄을 때, 이 사람이 알아서 맞출 확률은 얼마일까?

 

 

9. 독립

하나의 사건이 일어나느냐 마느냐와 상관없이 다른 사건이 일어날 확률이 변하지 않으면 독립이라고 한다.

P(A|B)=P(A)

P(B|A)=P(B)

독립일 경우

P(A 그리고 B) = P(A)P(B)

 

10 배반과 독립, 덧셈과 곱셈

배반과 독립의 차이

-하나의 사건이 발생하면 다른 사건이 발생할 수 없을 때 두 사건은 상호 배반이다.

-하나의 사건이 발생해도 다른 사건이 일어날 확률이 변하지 않을 때 두 사건은 상호독립이다.

 

덧셈법칙과 곱셈법칙의 차이

덧셈법칙은 두 사건 중 적어도 하나의 사건이 일어날 확률

곱셈법칙은 두 사건이 함께 일어날 확률