선형결합(Linear Combination)

선형결합(Linear Combination) 

🚀 1. 선형결합이란?

💡 "벡터를 조합해서 새로운 벡터를 만드는 법!"

우리는 지금까지 벡터가 방향과 크기를 가지는 화살표라는 걸 배웠어.
그런데 벡터를 여러 개 합쳐서 새로운 벡터를 만들 수도 있어!
이걸 **선형결합(Linear Combination)**이라고 해.

선형결합의 핵심:

c1v1+c2v2+...+cnvn=새로운 벡터c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + ... + c_n\mathbf{v}_n = \text{새로운 벡터}

여기서
✅ v1,v2,...\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ... → 벡터
✅ c1,c2,...c_1, c_2, ... → 숫자(스칼라)

즉, 벡터들을 적당한 숫자로 곱해서 더하면 새로운 벡터를 만들 수 있다!

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📌 2. 기하학적으로 이해하기 (벡터가 만드는 평면 & 공간!)

🏃‍♂️ 예제 1: 두 벡터로 길 찾기

🎯 "초등학생이 보물찾기를 한다고 해보자!"

• 보물이 어떤 좌표에 있어: (6, 4)
• 네가 이동할 수 있는 방법은?
  • 오른쪽(동쪽)으로 1칸 이동하는 벡터: v1=[10]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
  • 위로(북쪽) 1칸 이동하는 벡터: v2=[01]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

💡 그럼 보물(6,4)까지 가려면?

6v1+4v2=[64]6\mathbf{v}_1 + 4\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \end{bmatrix}

🔥 즉, 두 개의 기본 벡터만 있으면 평면 위의 모든 점을 만들 수 있다!
➡️ 이게 바로 선형결합의 기하학적 의미야!

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🌍 예제 2: 선형결합이 만드는 공간 (벡터가 평면을 채운다!)

💡 "네가 선을 많이 그으면 결국 평면이 된다!"

1️⃣ v1=[10]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} → x축 방향
2️⃣ v2=[01]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} → y축 방향

이 두 개의 벡터를 선형결합하면 평면 전체를 만들 수 있어!
즉,

c1v1+c2v2c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2

에서 c1,c2c_1, c_2 값을 마음대로 바꾸면 모든 좌표를 만들 수 있음!

➡️ 이렇게 두 벡터를 이용해 평면 전체를 만들 수 있다면, 그 벡터들을 기저(Basis)라고 부른다!

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📌 3. 선형독립과 선형종속 (벡터가 겹치면 문제!)

🔥 "서로 다른 길을 가야 새로운 공간을 만들 수 있다!"

🎯 "두 사람이 같은 길을 가면 새로운 길을 만들 수 있을까?"

• 친구 A: 오른쪽으로 2칸, 위로 1칸 → v1=[21]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}
• 친구 B: 오른쪽으로 4칸, 위로 2칸 → v2=[42]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}

🛑 이 두 벡터를 조합하면 새로운 길이 나올까?

• 아니! B는 A의 2배일 뿐이야.
• 아무리 조합해도 새로운 방향을 만들 수 없음!

➡️ 이렇게 한 벡터가 다른 벡터의 배수이면, 그 벡터들은 선형종속(Linear Dependent)이다!

🎯 "두 벡터가 완전히 다른 방향이라면?"

• v1=[10]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
• v2=[01]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

💡 이 벡터들은 서로 독립적이야!

• 어떤 벡터도 다른 벡터의 배수가 아님.
• 이 두 개만 있으면 평면을 만들 수 있음!

➡️ 이런 벡터들을 선형독립(Linear Independent)이라고 부른다!

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📌 4. 차원(Dimension)이란?

💡 "벡터가 만드는 공간의 크기를 결정하는 것!"

🎯 "벡터 몇 개로 공간을 다 채울 수 있을까?"
✅ 1D 공간(직선 위에서만 움직일 수 있음)

• v1=[10]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
• 한 방향으로만 갈 수 있음 → 1차원 공간!

✅ 2D 공간(평면을 만들 수 있음)

• v1=[10]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},
• v2=[01]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
• 두 방향이 있으므로 평면 전체를 만들 수 있음 → 2차원 공간!

✅ 3D 공간(모든 방향으로 이동 가능!)

• v1=[100]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
• v2=[010]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},
• v3=[001]\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
• 이제 모든 방향으로 이동할 수 있음 → 3차원 공간!

➡️ 즉, 차원이란 그 공간을 다 채울 수 있는 선형독립 벡터의 개수다!

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📌 5. 결론 – 선형결합이 왜 중요한가?

✅ 벡터를 조합해서 새로운 벡터를 만들 수 있다!
✅ 선형결합을 하면 벡터가 평면이나 공간을 만들 수 있다!
✅ 어떤 벡터들은 선형독립이고, 어떤 벡터들은 선형종속이다!
✅ 차원(Dimension)은 벡터가 만들 수 있는 공간의 크기다!

🔥 이제 너는 선형결합을 마스터한 초등학생 전공자다! 🚀
이제 선형변환(Linear Transformation)까지 가볼까? 😎