선형독립과 선형종속

선형독립과 선형종속

📌 "벡터가 서로 도울 수 있을까?"

🎯 **"선형독립(Linear Independence)과 선형종속(Linear Dependence)"**이란?

• 벡터들은 팀워크를 잘해야 해!
• 어떤 벡터들은 서로 도우면서 새로운 공간을 만들지만, 어떤 벡터들은 그냥 같은 길만 따라간다.
• 이걸 **선형독립(서로 돕는 관계)과 선형종속(겹치는 관계)**이라고 해.

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1️⃣ 선형종속이란? "같은 길만 가는 벡터들"

🚶‍♂️ 예제 1: 두 친구가 같은 길을 가는 경우

• 친구 A: 오른쪽으로 2칸, 위로 1칸 → 벡터 v1=[21]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}
• 친구 B: 오른쪽으로 4칸, 위로 2칸 → 벡터 v2=[42]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}

💡 "이 두 친구는 결국 같은 길을 가는 거야!"
왜냐하면 B는 A의 2배일 뿐이야.
즉,

v2=2v1\mathbf{v}_2 = 2 \mathbf{v}_1

➡️ 즉, 이 두 벡터는 같은 길을 가고 있어서 새로운 방향을 만들지 못해!
➡️ 이걸 선형종속(Linear Dependence)이라고 해!

🔥 "벡터들이 새로운 길을 만들어내지 못하면, 그건 선형종속이다!"

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2️⃣ 선형독립이란? "서로 다른 길을 가는 벡터들"

🏃‍♂️ 예제 2: 두 친구가 서로 다른 길을 가는 경우

• 친구 A: 오른쪽으로 1칸 이동 → 벡터 v1=[10]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
• 친구 B: 위로 1칸 이동 → 벡터 v2=[01]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

💡 "이 두 친구는 완전히 다른 방향으로 가고 있어!"

• 한 명은 오른쪽, 한 명은 위로 가고 있지?
• 이 벡터들을 적절히 조합하면 평면의 모든 점을 갈 수 있어!

➡️ 이런 벡터들은 서로 독립적이다!
➡️ 이걸 선형독립(Linear Independence)이라고 해!

🔥 "벡터들이 서로 다른 길을 가면서 새로운 공간을 만들 수 있으면, 그건 선형독립이다!"

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3️⃣ 선형독립 vs. 선형종속 – 차이점 정리

구분 선형독립(Linear Independence) 선형종속(Linear Dependence)

✅ 벡터 관계	서로 다른 방향으로 감	한 벡터가 다른 벡터의 배수
✅ 새로운 공간을 만들 수 있을까?	YES! (모든 점을 만들 수 있음)	NO! (기존 벡터들의 조합으로만 가능)
✅ 예제	v1=[10]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, v2=[01]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}	v1=[21]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, v2=[42]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}
✅ 수학적 특징	c1v1+c2v2=0c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 = 0일 때, **c1=c2=0c_1 = c_2 = 0**만 가능	c1v1+c2v2=0c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 = 0에서 c1,c2c_1, c_2가 0이 아닐 수도 있음

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4️⃣ 고급 개념: 차원(Dimension)과 선형독립

🎯 "벡터 몇 개로 공간을 다 채울 수 있을까?"

✅ 1D 공간(직선 위에서만 움직일 수 있음)

• v1=[10]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
• 한 방향으로만 갈 수 있음 → 1차원 공간!

✅ 2D 공간(평면을 만들 수 있음)

• v1=[10]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},
• v2=[01]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
• 두 방향이 있으므로 평면 전체를 만들 수 있음 → 2차원 공간!

✅ 3D 공간(모든 방향으로 이동 가능!)

• v1=[100]\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
• v2=[010]\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},
• v3=[001]\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
• 이제 모든 방향으로 이동할 수 있음 → 3차원 공간!

🔥 결론: 선형독립인 벡터의 개수가 곧 공간의 차원(Dimension)이다!

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5️⃣ 결론 – 선형독립과 선형종속이 왜 중요한가?

✅ 벡터들이 서로 같은 방향을 가면 선형종속이다!
✅ 벡터들이 서로 다른 방향을 가면 선형독립이다!
✅ 선형독립한 벡터의 개수가 차원을 결정한다!
✅ 이 개념이 기초가 되어 행렬, 선형변환, 머신러닝에서 쓰인다!

🔥 이제 너는 선형독립과 선형종속을 마스터한 초등학생 전공자다! 🚀
이제 행렬과 고유값까지 가볼까? 😎

 

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위의 이미지는 **선형독립(왼쪽)과 선형종속(오른쪽)**을 기하학적으로 표현한 것입니다.

🟥 선형독립 (왼쪽 그래프)

• 빨간 벡터 v1\mathbf{v}_1과 파란 벡터 v2\mathbf{v}_2가 서로 다른 방향을 가짐.
• 이 두 벡터를 조합하면 평면 전체를 만들 수 있음 → 선형독립!
• 예를 들어, 이 두 벡터를 조합하면 평면 내의 모든 점을 만들 수 있음.
  c1v1+c2v2=새로운 벡터c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 = \text{새로운 벡터}

🟦 선형종속 (오른쪽 그래프)

• 빨간 벡터 w1\mathbf{w}_1과 파란 벡터 w2\mathbf{w}_2가 같은 방향을 가짐.
• 사실, 파란 벡터는 빨간 벡터의 2배일 뿐이므로, 아무리 조합해도 새로운 방향을 만들지 못함 → 선형종속!
• 결국 이 벡터들은 하나의 직선 위에서만 움직일 수 있음 → 평면을 만들지 못함.

🔥 이제 기하학적으로 선형독립과 선형종속의 차이를 직관적으로 이해할 수 있습니다!
어떤 질문이든 더 설명해드릴 수 있습니다! 🚀