벡터와 행렬의 차이, 그리고 선형변환

📌 왜 선형변환은 행렬로 표현하는가?

벡터와 행렬의 본질적 차이와 구조적 필요성

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✅ 1. 핵심 결론부터

먼저 결론부터 명확히 정리하고 시작하겠습니다.

행렬을 사용하는 이유는, 단순히 벡터를 바꾸는 것이 아니라 "벡터 공간 전체"를 변환하는 규칙을 표현하기 위해서입니다.
벡터는 하나의 점, 방향, 데이터이고, 행렬은 그 벡터들을 어떤 방식으로 변환할지를 담은 구조입니다.
즉, 선형변환이라는 '공간의 규칙'을 효율적으로 표현할 수 있는 유일한 방법이 바로 행렬입니다.

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✅ 2. 수학적으로 보면: 벡터 vs 행렬의 역할

🔷 벡터는 "데이터"

벡터는 공간의 한 점, 방향, 크기를 나타내는 입력값입니다.
예를 들어, 2차원 평면에서는

$$
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}
$$

→ 이는 x축으로 2, y축으로 1 이동한 점 또는 방향을 의미합니다.

🔷 행렬은 "함수"

행렬은 숫자들의 표처럼 생겼지만, 그 안에 담긴 것은
벡터 공간 전체를 어떻게 바꿀 것인가에 대한 규칙입니다.

예를 들어,

$$
A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 3 \end{bmatrix}
$$

→ 이 행렬은 2차원 평면의 모든 벡터가
어떻게 크기가 바뀌고, 방향이 뒤틀리고, 공간이 늘어나는지를 결정하는 함수입니다.

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✅ 3. 왜 선형변환을 행렬로 표현하는가?

🔷 기하학적 직관

선형변환은 다음 두 가지 특징을 갖습니다.

덧셈 보존 →
$$
T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})
$$

스칼라 곱 보존 →
$$
T(c \mathbf{v}) = c T(\mathbf{v})
$$

즉, 선형변환은 직선성을 보존하는 변환입니다.

🔷 선형변환을 지정하려면 무엇이 필요한가?

2차원 공간에서 선형변환은 기준축인

$$
\mathbf{e_1} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e_2} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}
$$

이 두 벡터가 어디로 이동하는가만 알면
그 변환 전체가 결정됩니다.

즉, 변환 후:

$$
T(\mathbf{e_1}) = \begin{bmatrix} a \ c \end{bmatrix}, \quad T(\mathbf{e_2}) = \begin{bmatrix} b \ d \end{bmatrix}
$$

이 두 정보를 열벡터로 쌓은 것이 바로 행렬입니다.

$$
A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}
$$

🔷 핵심 논리

선형변환은 두 기준축의 변화를 통해 전체 공간의 변화를 규정할 수 있기 때문에,
그 정보를 효율적으로 담기 위해 행렬 구조를 사용합니다.

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✅ 4. 실생활 비유로 쉽게

🟢 벡터 = 한 사람
예를 들어, 한 사람의 위치가

$$
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}
$$

라고 합시다.

🔵 선형변환 = 놀이공원 룰
놀이공원에서 "모든 사람의 위치를 x축으로 2배, y축으로 그대로 유지"하는 규칙이 있다고 하면,
그 규칙이 바로 선형변환입니다.

🔴 행렬 = 공원 안내판
그 규칙을 써놓은 안내판에

$$
A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

라고 적혀 있다면,
이것을 보면 누구든 어떤 사람의 위치를 입력하면 새로운 위치를 계산 가능.

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✅ 5. 예시로 확인하기

변환 행렬:

$$
A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$

입력 벡터:

$$
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}
$$

적용:

$$
T(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 1 \end{bmatrix}
$$

→ x축 방향으로 2배 늘어났음.
규칙은 행렬 A 안에, 입력은 벡터 v 안에.

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✅ 6. 왜 "벡터 두 개"가 아니라 "행렬"인가?

많은 분들이 이런 질문을 하십니다:

"기준축 두 벡터만 바꾸는 거면, 그냥 두 개의 벡터로 표현하면 되지 않나요?"

📌 그럴 수도 있습니다.
그러나 벡터 두 개를 따로 보관하는 것과, 그 두 벡터를 하나의 구조로 묶어놓는 것은 다릅니다.

행렬 구조로 표현하면:

• 행렬 곱셈이라는 연산으로 계산 가능
• 연속된 변환을 행렬 곱셈으로 한 번에 처리 가능
• 컴퓨터가 벡터 공간 전체를 한 번에 다룰 수 있음

즉, 행렬은 단순히 벡터 두 개를 모아놓은 것이 아니라
그 두 벡터를 통해 정의된 "전체 공간 변환 함수"의 수치적 표현입니다.

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✅ 7. 한눈에 보는 관계

[입력 벡터 v] → [행렬 A 적용 (선형변환)] → [출력 벡터 T(v)]

$$
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}
$$

$$
T(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} = \begin{bmatrix} a x + b y \ c x + d y \end{bmatrix}
$$

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✅ 8. 수식으로 정리

선형변환은 항상

$$
T(\mathbf{v}) = A \mathbf{v}
$$

• $\mathbf{v}$ → 입력값 (벡터)
• $A$ → 변환 규칙 (행렬)
• $T$ → 벡터 공간 전체를 바꾸는 함수

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✅ 9. 실생활에서의 응용

분야	행렬의 의미
3D 게임 그래픽	카메라의 시점 변환, 물체의 회전
기계학습	데이터 변환, 가중치 행렬
통계	공분산 행렬로 데이터 간 관계 표현
경제학	복잡한 시스템(투입-산출 모델) 표현

→ 모두 "공간 전체의 규칙"을 담기 위해 행렬을 사용

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✅ 10. 공식적으로 표현하면

선형변환은 함수

$$
T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m
$$

이고,
행렬은 그 함수의 좌표 표현입니다.

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✅ 11. 마지막 요약 문장

벡터는 데이터이고, 행렬은 규칙이다.
행렬은 두 벡터 이상의 구조가 아니라, 공간 전체를 변환하는 함수의 효율적 수치 표현이다.
따라서 선형변환을 수치로 표현할 때, 가장 자연스러운 도구가 행렬이다.