일상 일기 블로그

왜 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는가?기하학적, 함수적, 그리고 일상적 관점에서 풀어보는 구조적 이유1️⃣ 들어가며 — "행렬 곱셈, 왜 순서가 중요할까?"선형대수를 배우다 보면 가장 많이 듣는 질문 중 하나가 있습니다."행렬은 숫자처럼 곱셈 교환법칙이 안 되나요?"즉, 왜 대부분의 경우 \( AB \neq BA \) 인가? 가끔은 실제로 곱해보면 우연히 같기도 합니다. 그러나 이는 특수한 경우일 뿐, 구조적으로 행렬 곱셈은 원천적으로 교환법칙이 성립할 수 없습니다.오늘은 그 이유를 다음 세 가지 관점에서 풀어보겠습니다.기하학적 관점합성함수 관점일상적 예시2️⃣ 기하학적 관점 — 공간 변환 순서의 비대칭성🟢 변환 정의다음 두 가지 2차원 선형 변환을 준비합니다.행렬 A : 90도 반시계 방향 회전..

📌 왜 선형변환은 행렬로 표현하는가?벡터와 행렬의 본질적 차이와 구조적 필요성✅ 1. 핵심 결론부터먼저 결론부터 명확히 정리하고 시작하겠습니다.행렬을 사용하는 이유는, 단순히 벡터를 바꾸는 것이 아니라 "벡터 공간 전체"를 변환하는 규칙을 표현하기 위해서입니다.벡터는 하나의 점, 방향, 데이터이고, 행렬은 그 벡터들을 어떤 방식으로 변환할지를 담은 구조입니다.즉, 선형변환이라는 '공간의 규칙'을 효율적으로 표현할 수 있는 유일한 방법이 바로 행렬입니다.✅ 2. 수학적으로 보면: 벡터 vs 행렬의 역할🔷 벡터는 "데이터"벡터는 공간의 한 점, 방향, 크기를 나타내는 입력값입니다.예를 들어, 2차원 평면에서는$$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}$$→ ..