[Basic of IRT using R] 4. The Test characteristic curve

4.1 Introduction

우리는 여태까지 하나의 문항에 답을 하는 것을 보았다.

그러나 총 테스트에서 몇 점을 받았는지, 총 테스트가 어떤지는 다루지 않았다.

만약 이 시험을 치른 사람들이 다시 이 문제를 기억하지 못한다면, 이 문제를 다시풀면 이 난이도의 문제는 특정 평균 근처에 모일 것이다. 이 값은 진점수(true score)이라고 한다.

 

4.2 A True Score

$$T{S}_i={\displaystyle \sum _{j=1}^J{P}_j({\theta }_i)}$$

 

$T{S}_i$: 능력 수준 ${\theta }_i$에 있는 사람의 진점수

$P_j({\theta }_i)$ 시험 특성에 따라 달라진다.

 

같은 능력에 있는 사람들의 진점수를 봐보자. 능력을 1이라 생각하고 진점수를 계산해보자.

 

$$P_j(\theta )=\frac{1}{1+2^{-a_j(\theta -b_j)}}$$

 

문항모수를 다음과 같이 정해보자.

문항1: $a_1=0.5,b_1=-1.0$

문항2: $a_2=1.2,b_2=0.75$

문항3: $a_3=0.8,b_3=0.3$

문항4: $a_4=1.0,b_4=0.5$

 

$theta=1.0$이다. 능력을 1로 가정했다.

$P_1(1.0)=\frac{1}{1+e^{-0.5(1.0-(1.0))}}=0.731058578$

$P_1(1.0)=\frac{1}{1+e^{-0.5(1.0-0.75)}}=0.574442516$

$P_1(1.0)=\frac{1}{1+e^{-0.5(1.0-0.0)}}=0.68997481$

$P_1(1.0)=\frac{1}{1+e^{-0.5(1.0-0.5)}}=0.622459331$

 

위의 값을 모두 더하면 

TS = 2.617934906

 

 

 

4.3 The Test Characteristic Curve

능력에 따라 진점수를 얼마 받을지의 그래프로 바뀌었다.

만약 1.0에 선을 그리면 그 값은 2.62가 나올 것이다.

 

 

 

4.4 Computer Session

b= [-1.0,0.75,0.0,0.5]
a=[0.5,1.2,0.8,0.75]
theta = np.arange(-3,3.1,0.1)
ts = np.repeat(0,len(theta))
J=len(b)
for j in range(J):
  P=1/(1+np.exp(-a[j]*(theta-b[j])))
  ts=ts+P

plt.plot(theta,ts)
plt.xlabel('Ability')
plt.ylabel('True Score')
plt.xlim(-3,3)
plt.ylim=(0,J)
plt.show()

 

시험 특성 곡선을 그려보았다.

그냥 사실 원래 구하던 함수에 값을 넣고 더한 것 밖에 특별한 것은 없다.

 

함수화하기

def tcc(b,a=np.repeat(1,J),c=np.repeat(0,J)): # 리스트로 받아야함
  J=len(b)
  theta = np.arange(-3,3.1,0.1)
  ts = np.repeat(0,len(theta))
  J=len(b)
  for j in range(J):
    P=1/(1+np.exp(-a[j]*(theta-b[j])))
    ts=ts+P

  plt.plot(theta,ts)
  plt.xlabel('Ability')
  plt.ylabel('True Score')
  plt.xlim(-3,3)
  plt.ylim=(0,J)
  plt.yticks([i for i in range(1,J+1)])
  plt.title('Test Characteristic Curve')
  plt.plot()
  plt.show()

b=[-2.0,-1.0,0.0,1.0,2.0]
a=[0.5,0.75,1.0,0.75,0.5]
tcc(b,a)

 

책에는 안나왔지만 능력에 따라 위치를 찾아주는 것도 구현해봤다.

def tcc(b,a=np.repeat(1,J),c=np.repeat(0,J),ability=1): # 리스트로 받아야함
  J=len(b)
  theta = np.arange(-3,3.1,0.1)
  ts = np.repeat(0,len(theta))
  J=len(b)
  for j in range(J):
    P=1/(1+np.exp(-a[j]*(theta-b[j])))
    ts=ts+P

  plt.plot(theta,ts)
  plt.xlabel('Ability')
  plt.ylabel('True Score')
  plt.xlim(-3,3)
  plt.ylim=(0,J)
  plt.yticks([i for i in range(1,J+1)])
  plt.title('Test Characteristic Curve')
  ts2=0
  for j in range(J):
    P=1/(1+np.exp(-a[j]*(ability-b[j])))
    ts2=ts2+P

  tss=np.arange(0,ts2,0.01)
  abil=[ability +i*0 for i in tss]
  plt.plot(abil,tss,'--')
  plt.show()

b=[-2.0,-1.0,0.0,1.0,2.0]
a=[0.5,0.75,1.0,0.75,0.5]
tcc(b,a,ability=-2)