일상 일기 블로그

🔷 이항분포의 평균과 분산✅ 정의이항분포 \( X \sim \text{Binomial}(n, p) \)의 평균과 분산은 다음과 같이 정의됩니다:\[E(X) = n \cdot p\quad , \quad\text{Var}(X) = n \cdot p(1 - p)\]이 수식은 단순한 암기공식이 아닌, 이항분포의 구조에서 유도되는 결과입니다.✅ 평균의 일반식 증명이항분포는 다음과 같이 구성됩니다:\[X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n, \quad X_i \sim \text{Bernoulli}(p)\]기댓값의 선형성에 따라 다음이 성립합니다:\[E(X) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n)\]각 \( X_i \)는 베르누이 시행이므로..

🔷 이항분포란?✅ 정의학술적 정의:이산확률변수 \( X \)가 독립인 \( n \)개의 베르누이 시행에서 성공한 횟수를 나타내고, 각 시행의 성공 확률이 동일하게 \( p \)일 때, \( X \)는 다음 확률질량함수를 따른다.\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \dots, n\]이를 이항분포라 하며, 다음과 같이 표기한다:\[X \sim \text{Binomial}(n, p)\]보다 쉽게 설명하면, 이항분포는 **성공과 실패 두 가지 결과 중 하나가 나오는 실험**을 여러 번 반복한 후, 그중 성공이 **몇 번 발생했는지**를 나타내는 분포입니다. \( n \): 실험 횟수 \( p \): 한 번의 실험에서 성공할 확..