일상 일기 블로그

🔷 Expectation and Variance of the Hypergeometric Distribution✅ Random Variable X and Its RangeThe hypergeometric distribution is a discrete probability distribution that describes the probability of obtaining a certain number of elements with a specific characteristic (e.g., category or label) when a fixed number of samples are drawn without replacement from a finite population.The random varia..

🔷 초기하분포의 기대값과 분산✅ 확률변수 X와 그 범위초기하분포는 전체 모집단에서 복원하지 않고 일정 수의 표본을 추출할 때, 그 중 특정한 특성(범주)에 속하는 항목이 몇 개인지를 확률적으로 설명하는 이산 확률분포입니다.확률변수 \( X \)는 이때 관심 항목의 개수를 의미하며, 그 범위는 다음과 같이 주어집니다:\[\max(0, n - (N - K)) \leq X \leq \min(n, K)\]이는 현실에서 가능한 개수를 고려한 범위입니다.예를 들어 \( N = 20 \), \( K = 5 \), \( n = 4 \)라면: \( \min(4, 5) = 4 \) \( \max(0, 4 - (20 - 5)) = \max(0, -11) = 0 \)따라서 \( X \in \{ 0, 1, 2, 3, 4..

🔷 Hypergeometric Distribution✅ DefinitionThe Hypergeometric Distribution describes a discrete probability distribution that models the probability of obtaining exactly \( k \) target items when drawing \( n \) samples without replacement from a finite population of size \( N \), which contains \( K \) such target items.The distribution is defined by the following parameters: \( N \): Populatio..

🔷 초기하분포✅ 정의초기하분포(Hypergeometric Distribution)는 크기 \( N \)인 유한 모집단에서, 그 중 관심 있는 항목(예: 특정 범주나 속성)을 \( K \)개 포함한 상태로, 복원하지 않고 \( n \)개의 표본을 추출할 때, 그 중 관심 항목이 정확히 \( k \)개 포함될 확률을 설명하는 이산 확률분포입니다.이 분포는 다음과 같은 모수를 가집니다: \( N \): 모집단의 크기 \( K \): 모집단 중 관심 항목의 수 \( n \): 추출하는 표본의 크기 \( X \): 표본 중 관심 항목의 개수 (확률변수)초기하분포의 확률 질량함수는 다음과 같습니다:\[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{..

🔷 이항분포: 모수 구조와 형태 통제✅ 1. 모수란 무엇인가?모수(parameter)는 확률분포의 수학적 정의에서분포의 모양을 직접적으로 결정하는 고정된 수치입니다.예를 들어, 정규분포는 평균 \(\mu\)와 분산 \(\sigma^2\) 두 값이정해져야 확률 밀도 곡선을 그릴 수 있으며,이 두 수만으로 분포는 완전히 정의됩니다.이처럼 모수는 분포를 정의하기 위한 필수 조건이며,그 수치값만으로 곡선의 중심, 폭, 대칭, 꼬리의 형태까지 결정짓는 수학적 변수입니다. ✅ 2. 일상적 예시시험 점수의 분포수학 시험을 본 전체 학생의 점수가 어떻게 퍼져 있는지 알고 싶다면,우리는 평균과 점수의 흩어진 정도(표준편차)를 알아야 합니다.평균 70점, 표준편차 10점 → 대부분이 60~80점평균 70점, 표준편차 ..

🔷 이항분포의 평균과 분산✅ 정의이항분포 \( X \sim \text{Binomial}(n, p) \)의 평균과 분산은 다음과 같이 정의됩니다:\[E(X) = n \cdot p\quad , \quad\text{Var}(X) = n \cdot p(1 - p)\]이 수식은 단순한 암기공식이 아닌, 이항분포의 구조에서 유도되는 결과입니다.✅ 평균의 일반식 증명이항분포는 다음과 같이 구성됩니다:\[X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n, \quad X_i \sim \text{Bernoulli}(p)\]기댓값의 선형성에 따라 다음이 성립합니다:\[E(X) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n)\]각 \( X_i \)는 베르누이 시행이므로..

🔷 이항분포란?✅ 정의학술적 정의:이산확률변수 \( X \)가 독립인 \( n \)개의 베르누이 시행에서 성공한 횟수를 나타내고, 각 시행의 성공 확률이 동일하게 \( p \)일 때, \( X \)는 다음 확률질량함수를 따른다.\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \dots, n\]이를 이항분포라 하며, 다음과 같이 표기한다:\[X \sim \text{Binomial}(n, p)\]보다 쉽게 설명하면, 이항분포는 **성공과 실패 두 가지 결과 중 하나가 나오는 실험**을 여러 번 반복한 후, 그중 성공이 **몇 번 발생했는지**를 나타내는 분포입니다. \( n \): 실험 횟수 \( p \): 한 번의 실험에서 성공할 확..

✅ 분산의 정의분산이란 확률변수 \(X\)의 기댓값으로부터 얼마나 퍼져 있는가를 나타내는 수치로, 다음과 같이 정의됩니다.\[\text{Var}(X) = E\left[(X - E[X])^2\right]\] ✅ 정의를 전개위의 정의를 수학적으로 전개하면 다음과 같습니다.\[\text{Var}(X) = E\left[X^2 - 2X \cdot E[X] + (E[X])^2\right]\]기댓값의 선형성과 상수의 성질을 적용하면:\[\text{Var}(X) = E[X^2] - 2E[X] \cdot E[X] + (E[X])^2\]\[= E[X^2] - 2(E[X])^2 + (E[X])^2\]\[= E[X^2] - (E[X])^2\]✅ 최종 공식 \[ \boxed{\text{Var}(X) = E[X..