일상 일기 블로그

🔷 초기하분포의 기대값과 분산✅ 확률변수 X와 그 범위초기하분포는 전체 모집단에서 복원하지 않고 일정 수의 표본을 추출할 때, 그 중 특정한 특성(범주)에 속하는 항목이 몇 개인지를 확률적으로 설명하는 이산 확률분포입니다.확률변수 \( X \)는 이때 관심 항목의 개수를 의미하며, 그 범위는 다음과 같이 주어집니다:\[\max(0, n - (N - K)) \leq X \leq \min(n, K)\]이는 현실에서 가능한 개수를 고려한 범위입니다.예를 들어 \( N = 20 \), \( K = 5 \), \( n = 4 \)라면: \( \min(4, 5) = 4 \) \( \max(0, 4 - (20 - 5)) = \max(0, -11) = 0 \)따라서 \( X \in \{ 0, 1, 2, 3, 4..

🔷 이항분포의 평균과 분산✅ 정의이항분포 \( X \sim \text{Binomial}(n, p) \)의 평균과 분산은 다음과 같이 정의됩니다:\[E(X) = n \cdot p\quad , \quad\text{Var}(X) = n \cdot p(1 - p)\]이 수식은 단순한 암기공식이 아닌, 이항분포의 구조에서 유도되는 결과입니다.✅ 평균의 일반식 증명이항분포는 다음과 같이 구성됩니다:\[X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n, \quad X_i \sim \text{Bernoulli}(p)\]기댓값의 선형성에 따라 다음이 성립합니다:\[E(X) = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + \cdots + E(X_n)\]각 \( X_i \)는 베르누이 시행이므로..

우리는 확률변수와 확률의 곱이 평균이라는 것을 배웠을 것이다.그 이유를 고등학교 때는 이해를 못했지만 다시 통계를 공부하며 이해했던 부분을 쓰려고 한다. 주사위를 던진다고 하면 나올 수 있는 값 X는 확률변수이며, 1 ~ 6을 가진다.이 때 나올 수 있는 확률은 각각 1/6이다.이를 표로 나타내면 아래와 같다.X123456P1/61/61/61/61/61/6  위의 표를 보고 X값과 그 X값에 해당하는 확률을 곱하면 1 * (1/6) + 2*(1/6) + ... + 6 * (1/6) = 3.5다.이는 평균이며 E(X)가 된다. 왜 이렇게 되는지 이유가 궁금했는데, 모집단의 확률이 아니라 표본이 있다고 해보자.표본에서는 값이1,1,1,2,3,4 가 나왔다고 가정하자. 이 경우 총 6번의 시행을 해서1은 3번..